Geometrie und Topologie
Fakultät für Mathematik
Technische Universität München

Kreuzprodukt zum Berechnen der Verbindungsgeraden

Im Folgenden wollen wir die Verbindungsgerade zweier Punkte der euklidischen Ebene berechnen. Dafür sei die euklidische Ebene wieder auf dem Niveau $z=1$ im $\mathbb{R}^3$ eingebettet. Ferner seien zwei Punkte der Ebene gegeben, deren homogene Koordinaten wir mit $[A]$ und $[B]$ bezeichnen. Der Punkt $[A]$ liegt genau dann auf der Geraden $[g]$, wenn $\langle A,g \rangle = 0 $ gilt. Somit muss für die Verbindungsgerade $[g]$ von $[A]$ und $[B]$ Folgendes gelten:

\[ \langle A,g \rangle = \langle B,g \rangle = 0 \iff A,B \perp g. \]

Diese Forderung bestimmt $[g]$ eindeutig. Es gilt nämlich $[g] = [A\times B]$ und da skalare Vielfache ungleich Null bei homogenen Koordinaten keine Rolle spielen, können wir einfach $A\times B$ als Repräsentanten für die Verbindungsgerade wählen.

Es gibt aber auch eine schöne geometrische Interpretation dieses Zusammenhangs, die im Applet zur Geltung kommt. Die Verbindungsgerade von $[A]$ und $[B]$ ergibt sich in der Einbettung als Schnittgerade der eingebetteten Ebene und der Ebene, die durch die beiden Vektoren $A$ und $B$ aufgespannt wird. Der Vektor, der die Verbindungsgerade nun repräsentiert, ist aber nichts anderes als der Normalenvektor, der von $A$ und $B$ aufgespannten Ebene.



Zum Abschluss noch zwei kleine Fragen zum selber Knobeln: Wenn wir nun zwei Geraden über ihre homogenen Koordinaten gegeben haben, wie erhalten wir dann die homogenen Koordinaten ihres Schnittpunkts? Welche geometrische Situation ergibt sich in diesem Fall?