Geometrie und Topologie
Fakultät für Mathematik
Technische Universität München

Doppelverhältnis im CP1

In CP1 gibt es einen Satz der Kozirkularität und Doppelverhältnisse in Beziehung setzt. Er lässt sich mithilfe des Satzes vom Fasskreisbogen zeigen und lautet wie folgt:

Vier Punkte A,B,C,DC liegen genau dann auf einem Kreis, wenn das Doppelverhältnis (A,B;C,D) reell ist.

Das bedeutet aber auch, dass das Doppelverhältnis (A,B;C,D) komplex ist, wenn z.B. der Punkt D nicht auf dem Kreis durch A,B,C liegt. Ferner gilt bei der momentanen Anordnung der Punkte A,B,C auf dem Kreis, dass das Doppelverhältnis einen positiven Imaginärteil hat, wenn D außerhalb des Kreises liegt und negativen, wenn D innerhalb liegt. Vertauscht man die Anordnung zweier Punkte, so drehen sich auch die Vorzeichen des Imaginärteils um.