Geometrie und Topologie
Fakultät für Mathematik
Technische Universität München
MatheVital Navigation
Lineare Algebra 1
Einführende Beispiele
Lineare Abbildungen als geometrische Transformationen
Gleichgewichte in Spannungsnetzwerken
Weichzeichner und Scharfzeichner
Glatte Kurven durch Stützstellen
Das "Inkreis"-Prädikat
Die Gruppenstruktur von
(
R
2
,
+
)
(
R
2
,
+
)
Addition zweier Elemente
Assoziativität
Modulorechnen
Gruppentafeln für Addition und Multiplikation
Visualisierung der Addition
Visualisierung der Multiplikation
Vielfache einer Zahl und Sternpolygone
Grauwerte der Gruppentafeln
Euklidischer Algorithmus und Kettenbrüche
Euklidischer Algorithmus
Kettenbruchberechnung
Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl
(Best-)Aproximierende Brüche
Untergruppen von Modulogruppen
Untergruppen von
(
Z
,
+
)
(
Z
,
+
)
Untergruppen von
(
Z
p
,
⊕
p
)
(
Z
p
,
⊕
p
)
Untergruppen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
für
p
=
2
,
.
.
.
,
17
p
=
2
,
.
.
.
,
17
Noch mehr Untergruppen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
für
p
=
2
,
.
.
.
,
31
p
=
2
,
.
.
.
,
31
Nebenklassen von Modulogruppen
Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊕
p
)
(
Z
p
,
⊕
p
)
Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
Nochmal Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
Die Quotientengruppen von
(
Z
p
−
{
0
}
,
⊙
p
)
(
Z
p
−
{
0
}
,
⊙
p
)
sind zyklisch
Die Exponentialfunktion als Gruppenhomomorphismus
Der Rechenschieber
Der Body Mass Index (BMI) Calculator
Die Symmetrische Gruppe
Die
S
3
S
3
und das Dreieck
Das Permutationsknobelspiel (leichte Version)
Das Permutationsknobelspiel
Komplexe Rechenoperationen
Komplexe Addition
Komplexe Multiplikation
Komplexe Konjugation
Komplexe Potenzen
Einheitswurzeln
Die k-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
z
z
Springende Wurzeln von
z
z
Mitverfolgen der Wurzeln von
z
z
Experimentieren mit Wurzeln von
z
z
C
C
(für Experten)
Taylorreihen
Taylorpolynome von
sin
(
x
)
sin
(
x
)
Taylorpolynome von
cos
(
x
)
cos
(
x
)
Taylorpolynome von
exp
(
x
)
exp
(
x
)
Taylorentwicklung von
sin
(
x
)
sin
(
x
)
um einen beliebigen Punkt
Komplexe Funktionen I
Welche Terme dominieren bei Polynomen?
Welche Terme dominieren bei Polynomen? (Teil II)
Bild eines Ursprungkreises unter
f
(
x
)
=
x
n
+
x
f
(
x
)
=
x
n
+
x
Spirographenmuster
Spirograph in Wikipedia
Komplexe Funktionen II
Komplexe Funktionen (zum Experimentieren)
Komplexe Abbildung eines Gitters (für Experten)
Bild eines Ursprungskreises
Bild eines Ursprungskreises unter einem Polynom
Nullstellen eines reellen Polynoms
Punkte auf einer Geraden
Darstellung der Punkte auf einer Geraden von p nach q
Matrizen, Basen, Lineare Abbildungen
Matrix-Vektor-Multiplikation
Projektion eines Würfels
Projektion eines Würfels II
Quotientenvektorräume
Nebenklassen von Untervektorräumen
Addition von Nebenklassen
Addition von Nebenklassen II
Lineare Abbildungen als geometrische Transformationen
Drehung (Rotation)
Drehstreckung
Iterierte Drehstreckung
Verschiebung (Translation)
Affine und projektive Transformationen.
Material zu Anwendungen von Determinanten
2x2 Determinante
Dreiecksfläche
Dreiecksfläche II
Fläche eines Polygons
Fläche eines Polygons II
Berechung der konvexen Hülle
Kollisionstest
Determinanten in der Geometrie
Eigenwerte einer Matrix
Eigenwerte einer Matrix
Lineare Algebra 2
Kanonisches Skalarprodukt
Berechnung des kanonischen Skalarproduktes
Skalarprodukt und Nebenklassen
Skalarprodukt und Vektorlängen
Skalarprodukte und Projektionen
Normen
Skalarproduktnormen
Verschiedene Normen
Der Schnittpunkt der "Mittelsenkrechten"
Die p-Norm
Projektion und Skalarprodukt
Senkrechte Projektion und Orthonormalbasen
Skalarprodukt bezüglich beleibeiger Basis
Hesse'sche Normalform
Hesse'sche Normalform
Ausgleichsrechnung
Berechnung einer Regressionsgeraden
Regression bezüglich beliebiger Basisfunktionen
Kreuzprodukt
Kreuzprodukt
Transformationen
Drehung des Koordinatensystems in der Ebene
Komposition von Bewegungen
Komposition dreier Achsenspiegelungen
Bewegungen zischen kongruenten Dreiecken
Stereographische Projektion
Stereographische Projektion
Bild vieler Kreise
Quadriken
Quadriken in 2D
Quadriken als Nullstellen eines Graphs
Matrizenpotenzen
Potenzen einer Matrix
Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen
Einige interessante nicht-lineare Differentialgleichungen
Lineare Algebra Bonbons
Wie man den Rubiks Cube knackt
Rubiks Cube Strategie Applets
Materialien zum Lösen von Gleichungen 3. und 4. Grades
Folien zur Geschichte
Gleichungen 4. Grades als Schnitt von Kreis und Parabel
Material zu Kugelspiegelungen und Indra's Pearls
Indra's Pearls und Chaos bei Kugelspiegelungen
Material zu Interpolation und Approximation
Lagrange Interpolation
Interpolation parametrisierter Kurven
Hermite Interpolation
Interpolation algebraischer Kurven
Weiterführendes Material zu Interpolation
Approximation mit Polynombasen I
Approximation mit Polynombasen II
Raytracing Bild algebraischer Flächen.
Geometriekalküle
Homogene Koordinaten
Parallelen schneiden sich im Unendlichen
Homogene Koordinaten für
R
P
2
R
P
2
Kreuzprodukt für Verbindungsgerade
Baryzentrische Koordinaten
Parabelmultiplikator
R
P
2
R
P
2
in der Ebene und auf der Kugel
Raumformen
Torus
Möbiusband
Klein'sche Flasche
R
P
2
R
P
2
Projektive Transformationen
Projektive Transformation aus 4 Punkten
Invarianz von Eigenschaften
Entzerrung von Bildern
Die Golden Gate Bridge
Gaudis Architektur
Dualität
Primal vs. Dual
Primal vs. Dual auf der Kugel
Satz von Pappos und sein Duales
Satz von Desargues
Permutationssatz
Euklidische Variationen von Pappos
Symmetrien der Pappus Konfiguration
Symmetrische Positionen der Pappos Konfiguration
Symmetrische Positionen der Pappos Konfiguration
Satz von Pascal
Weitere Verallgemeinerungen
Projektive Geometrie auf der Geraden
Doppelverhältnisse Messen
Projektive Skalen
Von Staudt Konstruktionen
Konstruktion für harmonische Punkte
Sätze mit harmonischen Punkten
Projektive Skalen
Bahngleise
Projektive Skalen in der Fotografie
Perspektivische Täuschung
Kegelschnitte
Schnitt durch einen Kegel
Kegelschnitt durch fünf Punkte
Schar von Kegelschnitten
Doppelverhältnis auf Kegelschnitt
Fadenspannbilder
Kegelschnitte auf Kugel
Die Ferngerade und Kegelschnitte
Doppelverhältnis auf Kegelschnitt
Wo Stand der Fotograf
Kamerakonstruktion
Kamerakonstruktion II
Komplexe Zahlen und Geometrie
Potenzgerade zweier und dreier Kreise
Doppelverhältnis auf Kegelschnitt
Satz vom Fasskreisbogen
Doppelverhältnis im CP
1
Möbiustransformationen
Ästhetik von Möbiustransformationen
Iterierte Möbiustransformation
Möbius Fraktale
Sierpinski Metamorphosen
Indras Pearls
Euklidische Geometrie
Satz von Laguerre
Mittelpunktsbestimmung mit I und J
Brennpunktsbestimmung mit I und J
Konstruktion einer Spiegelung
Satz von Miguel
Satz von Ptolemy
Pseudo-Euklidische Geometrie
Satz von Thales
Kreisschnittsatz
Winkelberechnung
Winkelfolge
Relativistische Addition von Geschwindigkeiten
Robotik
Robotik
Roboterarm
Determinanten
Geometrie einer 2x2 Determinante
Bestimmung einer Dreiecksfläche
Fläche eines Polygons
Selbstdurchdringung und Windungszahl
Computergestütztes Beweisen
Einige computererzeugte Beweise
Eine nicht-realisierbare Konfiguration
Kreisgeometrie
Tangentialkreise an zwei Kreise
Konstruieren mit Lie-Koordinaten
Konstruktionen mit Lorentz Inzidenz
Apollonische Kreise
Messen mit Lie-Koordinaten
Schnittwinkel
Appolonius und Zahlentheorie
Arithmetik von Soddy Konfigurationen
Apollonische Kreispackung als IFS
Ganzzahlige Soddy Konfigurationen
Apollonische Kreispackungen
Ford Kreise
Einige Matrizengruppen
Iterierte Lie-Transformation I
Iterierte Lie-Transformation II
Iterierte Lie-Transformation III
Iterierte Lie-Transformation IV
Iterierte Lie-Transformation V
Iterierte Lie-Transformation VI
Der "andere" Schnittwinkel
Steiner'sche Kreisketten
Geschlossene Kreisketten
Quaternionen und Drehungen
Stereopgraphische Projektion
Projektion von Breitengraden
Fixpunkte einer Drehung
Oktaven und Haarige Bälle
Weiterführendes zur Projektiven Geometrie
Quadrilateral sets
Konstruiere den letzten Punkt!
Indras Pearls
Geometrische Transformationen
Verschiebung (Translation)
Drehung (Rotation)
Drehstreckung
Iterierte Drehstreckung
Geraden- und Punktspiegelung
Kreisspiegelung
Komplexe Zahlen
Komplexe Addition und Multiplikation (ganzzahlig)
Komplexe Addition und Multiplikation (allgemein)
Komplexe Konjugation
Potenzen einer komplexen Zahl
Komplexe Abbildungen
Komplexe Abbildungen
Komplexe Abbildungen eines Gitters (für Fortgeschrittene)
Geometrische Abbildungen als komplexe Funktionen
Iterierte geometrische Abbildungen
Möbiustransformationen
Möbiustransformationen
Inverse einer Möbiustransformation
Möbiustranformationen aus dem Bild dreier Punkte
Möbiustransformationen aus zwei Fixpunkten
Feldlinien
Möbiustransformationen und Stereographische Projektion
Transformationsgruppen
Zwei Translationen
Dr. Stickler im Spiegelkabinett
Winkelspiegel
Kaleidoskope
Ornamentgruppen
Iterierte Ähnlichkeitstransformationen
Iterierte Funktionensysteme
Ein kleiner Vorgeschmack
Eine IFS-Pflanze
Wie ein IFS entsteht
Die Rolle der Wahrscheinlichkeit
IFS aus zwei Ähnlichkeitstransformationen
Der Barnsley-Farn
IFS aus zwei Möbiustransformationen
Iterierte Möbiustransformationen
Zwei Kreise
Schotty-Kreise
Der Schotty-Kreistanz
Grenzpunktmengen
Beispiele aus Indra's Pearls
Das Band
Das Band mit Twist
Das Collier
Feinarbeit am Collier
Und noch ein Freiheitsgrad
Großmutters Rezept
Mathe und Musik
Von der Schwingung zum Ton
Schwingungen hören
Reine Sinustöne
Schwebung
Schwebung mit schnellerer Frequenz
Interferenz
Reine Töne in logarithmischer Skala
Vom Ton zum Klang
Obertöne
Obertöne II
Intervalle
Ein Monochord
Schwingungen einer Saite
Ein Monochord mit drei Saiten
Vom Ton zur Melodie
Exaktes Monochord
Stimmungen
Stimmungen hören
Stimmungen und Verstimmungen
Der Quintenzirkel
Indische Ragas
Rhythmus
Ein Perkussionsspielplatz
Sequenzer
Quantisierungs Rhythmen
Algorithmische Komposition
Mozart's musikalisches Würfelspiel
Pachelbels Canon
Mathematik und Pflanzen
Grundformen der Symmetrie
Spiegelung
Rotation
Rotation und Spiegelung
Spiralen
Grundformen von ebenen Spiralen
Spiralen durch Drehstauchung
Spiralen bei Schnecken
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt in Architektur und Kunst
Der Goldene Schnitt in geometrischen Grundformen
Die Goldene Spirale
Der Goldene Schnitt und Fibonacci Zahlen
Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt I
Fibonacci-Zahlen
Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt II
Gitterpunkte
Der Goldene Winkel
Fibonacci-Zahlen und die Ananas
Sonnenblumenkerne (Phyllotaxis)
Blattstand beim Springkraut
Blütenstand bei der Sonnenblume
Pollenkapseln bei der Kamillenblüte
Wo Sonnenblumenkerne sitzen
Wie Sonnenblumenkerne wachsen
Fraktale und Pflanzen
Iterierte Drehstauchungen
Grenzpunktmengen
Eine IFS-Pflanze
Wie man Grenzpunktmengen berechnet
Schöne Beispiele für IFS aus zwei Drehstauchungen
Farne als Grenzpunktmenge
Baumartiges Wachstum
Schildkrötengrafik
Schildkröte mit Gedächtnis
Ersetzungssysteme
L-Systeme
Analysis 1
Die Divergenz der harmonischen Reihe
Wachstum der harmonischen Reihe
Die harmonische Reihe
Reihen und ihr Wachstum
Alternierende Harmonische Reihe
Konvergenz in C
Zur Stetigkeit
Zur Definition von Stetigkeit
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
Stetigkeit im Komplexen
Stetige nicht-differenzierbare Funktionen
Funktionen die zwar stetig aber nicht differenzierbar sind
Eine geometrische Konstruktion
Flächenfüllende Kurven
Fixpunktsätze
Ein reeller Fixpunktsatz
Banach'scher Fixpunktsatz
Fourierreihen
Einfache Beispiele für Fourierreihen
Fourierreihenexperimente
Spektrum von Sinus-Schwingungen
Fourierreihen mit Exponentialfunktion
Fourierreihen mit Exponentialfunktion II
Taylorreihen
Taylorpolynome von
sin
(
x
)
sin
(
x
)
Taylorpolynome von
cos
(
x
)
cos
(
x
)
Taylorpolynome von
exp
(
x
)
exp
(
x
)
Taylorentwicklung von
sin
(
x
)
sin
(
x
)
um einen beliebigen Punkt
Beschränkter Konvergenzradius
Riemann-Steiltjes Integral
Riemann Stieltjes Integrator
Beispiele verschiedener Integratoren
Differentialgeometrie
Ebene Kurven
Ebene Kurven
Lissajous Kurven
Radlinien
Kettenlinie
Kissoide des Diocles
Neilsche Parabel
Evoluten Plotter
Evolute und Evolventen der Zykloide
Traktrix, ihre Evolute und Darboux-Transformierte
Ellipse, ihre Evolute und Parallelkurven
Logarithmische Spirale
Kreisevolventen
Elastische Kurven mit Federpendel
Raumkurven
Rahmen von 3D-Kurven
Flächen in
R
3
R
3
Tangentenflächen
3D-Torus mit Weingartenoperator
Diskrete Mathematik
Relationen
Hex
Graphen - Intro
Was ist ein Graph?
Adjazenzmatrix & Features
Erweiterungen (Färbung, Gewichte)
Graphen - Planarität & Färbbarkeit
Einbettung & Planarität & Crossing Number & Petersen-Graph
Planarität & Crossingnumbers & Satz von Kuratowski
Eulersche Polyedersatz für planare Graphen
Folgerungen aus dem Eulerschen Polyedersatz & Der Fünffarbensatz
Graphen - Wege & Bäume & Matchings
Breitensuche vs. Tiefensuche
Aufspannende Bäume & Algorithmus von Prim
Maximales Matching
Numerische Mathematik
Grundlagen
Normen
Kondition eines Problems
Kondition der Nullstellenbestimmung eines Polynoms
Auslöschung
Lineare Gleichungssysteme
Vorwärts- & Rückwärtssubstitution
Ausgleichsrechnung
Regressionsgerade
Normalengleichung
Nichtlineare Gleichungssysteme
Newton-Verfahren 2D
Newton-Verfahren und Chaos
Interpolation
Äquidistante vs. Tschebyscheff-Polynominterpolation
Schnelle Fourier-Transformation
Physikalische Mathematik
Elementare Bewegungsformen
Korbball
Wurfparabel
Wurfkurve mit Reibung
Impuls
Elastischer Stoß und Impuls
Impuls entlang einer Bahn
Impulspendel
Planetenbahnen
Planetenbewegung nach Kepler
Sonnenlaboratorium
Stabiler 3-Planeten Orbit
Verschiedene Instabile Orbits
Zentrale Kraftfelder
Federn
Statik
Kräfte in einer Brücke
Golden Gate
Pendel
Federpendel
Federpendel 2D
Physikalisches Pendel
Gekoppelte Pendel
Gekoppelte Pendel mit Oszilloskop
Doppelpendel
Optik
Farbige Schatten
Lichtstrahl in einer Ellipse
Optische Bank
Elektrostatik
Feldlinien
Geladene Teilchen
Korbball
Magnetfelder
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6. Nebenklassen von Modulogruppen
Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊕
p
)
(
Z
p
,
⊕
p
)
Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
Nochmal Nebenklassen von
(
Z
p
,
⊙
p
)
(
Z
p
,
⊙
p
)
Die Quotientengruppen von
(
Z
p
−
{
0
}
,
⊙
p
)
(
Z
p
−
{
0
}
,
⊙
p
)
sind zyklisch
